4. Numerical Intergration

Rieman Intergral

Jika f(x) adalah fungsi yang berterusan dalam julat a <= x <= b dan dibahagi dengan beberapa selang,n.

Dalam bab ini, anda perlu tahu 3 cara untuk menyelesaikan pengamiran. Iaitu

1. Analytical method
2. Trapezoidal approximation
3. Simpson Rule
   
   
   

3.2 Taylor Series

3. Numerical Differentiation

3.1 Numerical Differentiation Procedure

Ada 6 jenis Pembezaan Prosedur berangka (Numerical Differentiation Procedure).

1. Differentiation of direct fit polynomial
2. Differentiation of Lagrange polynomial
3. Differentiation of divided different polynomial
4. Differentiation of newton forward-difference polynomial
5. Differentiation of newton-backward-difference polynomial
6. Differentiation based on Taylor series.

2. Interpolasi and Linear Interpolasi

2.1  Interpolasi (Interpolation)

Dari post sebelum ini dalam kategori computational physics, (kesilapan dan ketaktentuan dalam komputer)
kesilapan ke-4 iaitu kesilapan permbundaran akan diatasi dengan cara interpolation (penentudalaman).

Ia adalah cara untuk menghasilkan data yang baru dalam jarak secara diskret yg dikenali sebagai titik data (data point)

Sebagai contoh,

x                    f(x)
0                     0
1                 0.8415
2                 0.9093
3                 0.1411
4               -0.7568
5               -0.9589
6               -0.2794






2.1. Linear Interpolasi (Linear Interpolation)

Seperti contoh dalam untuk menyelesaikan masaalah f(2.5) yang barada di antara 2 dan 3, f(2) = 0.9093, f(3) =  0.1411, yang hasilnya adalah 0.5252.

Biasanya linear interpolasi akan mengambil 2 titik data dan ianya akan memberi formula seperti di bawah..

Contoh,

Diberi f(x) = sin x. andaikan bahawa  X_i  = 2π/4,  X_i+1 = π/2 .. 


Diberi juga f_{i = 0.707 dan} f_{i+1 = 1.000. Maka guna linear interpolasi untuk mendapatkan nilai f(x) di x=3}π/8. Dan apakah nilai kesilapan ∆f(x)?

Jawapan

Kesilapan dan Tidak Ketentuan Dalam Komputer

1) Blunder and bad theory (Kesilapan dan teori salah)
Kesalahan dalam menaip semasa memasukkan kod atau data, maka ia akan menyebabkan  program tidak berjalan dengan sepatutnya.

2) Random error. (kesalahan rawak)
Kesalah ini disebabkan oleh situasi seperti turun naik tenaga elektrik dalam elektronik kerana disebabkan oleh bekalan elektrik, sinar kosmik, atau ada seseorang yang cabut bekalan kuasa..

3) Approximation Error. (Kesilapan penghampiran)
Kesalahan dalam memudahkan jalan kira matematik. Dalam menyelesaikan masaalah matematik, jawapan terakhir adalah hampir tapi tidak tepat dari apa yang sepatutnya seperti cara analisis (matematik biasa).


4) Roundoff error. (kesalahan permbundaran)
Sebagai contoh, dalam operasi pecahan 1/3.. Komputer akan mengeluarkan kepututsan 0.3333... dan ada pembundaran seperti 2/3 = 0.6667. Maka apabila menjalankan operasi matematik seperti 2(1/3)-(2/3), komputer akan menghasilkan,

2(1/3) - 2/3 = 2(0.333) - 0.667
                   = 0.666-0.667
                   = -0.001
Jawapan yg sepatutnya adalah 0.

Introduction to Computational Physics

Pengenalan

Sebelum kita menggunakan komputer untuk menyelesaikan sesuatu masalah, kita harus mengarahkan komputer tersebut untuk mengikut prosedur tertentu dan menyelasaikan tugas yang dikehendaki

Ianya melibatkan beberapa langkah:
1) Menukarkan masalah tersebut ke dalam beberapa langkah set logik yang komputer boleh diikut
2) Memberitahu komputer supaya mengikut dan melengkapkan set logik tersebut.


1.1 Computer algorithm.
Set logik yang lengkap untuk menyelesaikan masalah komputer tertentu dipanggangil "computer/numerical algorithm.

contoh:



1.2 Computer language (Bahasa komputer)

Program komputer yang membolehkan manusia berkomunikasi dengan komputer.
komputer program atau kod adalah pengumpulan kenyataan yang  biasanya akan ditulis dalam bahasa program komputer.


1.3. Kod komputer
Bits dan bytes.

Komputer hanya menggunakan sistem nombor binari sebagai nombor asas untuk beroperaso.

Dalam sistem binari, hanya ada 2 simbol sahaja. Iaitu "0" dan "1" sahaja.
Contoh: 110010011

setiap nombor binari tersebut dirujuk sebagai bit.

8 bit = 1 byte
4 bit = 1 nibble


1.4. Bahasa program komputer.
Terdapat 2 jenis:

a. bahasa tahap rendah
bahasa tahap rendah adalah bahasa primitf ataupu kod binary seperti "1110011"

b. bahasa tahap tinggi.
Komputer digunakan untuk menukarkan bahasa tahap tinggi kepada kod.



Contoh:

// operating with variables

#include <iostream>
using namespace std;

int main ()
{
  // declaring variables:
  int a, b;
  int result;

  // process:
  a = 5;
  b = 2;
  a = a + 1;
  result = a - b;

  // print out the result:
  cout << result;

  // terminate the program:
  return 0;
}